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1、欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。

2、其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。

3、拓扑学中的欧拉多面体公式。

4、初等数论中的欧拉函数公式。

5、欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。

6、常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ， 物理学公式F=fe^ka等。

7、复变函数 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

8、它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

9、[2]欧拉公式 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

10、将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： 恒等式 e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

11、数学家们评价它是“上帝创造的公式” 那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

12、 那么这里的π就是x，那么 e^iπ=cosπ+isinπ =-1 那么e^iπ+1=0 这个公式实际上是前面公式的一个应用。

13、分式　　分式里的欧拉公式：　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)　　当r=0,1时式子的值为0　　当r=2时值为1　　当r=3时值为a+b+c三角公式　　三角形中的欧拉公式：　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：　　d＾2=R＾2-2Rr拓扑学说　　拓扑学里的欧拉公式：拓扑学　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

14、　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

15、[3]　　X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

16、初等数论　　初等数论里的欧拉公式：　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

17、n是一个正整数。

18、　　欧拉证明了下面这个式子：　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。

19、则有　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)　　利用容斥原理可以证明它。

20、物理学欧拉公式应用 众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。

21、现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里： F=fe^ka 其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

22、　　此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

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