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1、笔算开平方先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数。

2、所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．　　根据两数和的平方公式。

3、可以得到　　1156=(30+a)2＝302＋2×30a＋a2，　　所以1156-302＝2×30a＋a2，　　即256=(3×20+a)a。

4、　　这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和。

5、再乘以它本身，等于256．　　为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：　　根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3。

6、得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0。

7、表示开方正好开尽．于是得到　　1156＝342,或　　上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根。

8、它的计算步骤如下：　　1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11＇56)，分成几段。

9、表示所求平方根是几位数；　　2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；　　3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；　　4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数。

10、所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；　　5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数。

11、试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数)；　　6．用同样的方法。

12、继续求平方根的其他各位上的数．　　按照上面步骤求，可得到下面左边的竖式：　　于是得到　　如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求的近似值（精确到0.01）。

13、可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到　　笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少。

14、但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．　　我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载。

15、国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．。

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