解不等式典型例题及答案（实时快讯解不等式练习题）

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1、例4 解答题(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．∴ 120-8x≥84-3(4x+1)(2)∵10(x+4)+x≤84∴10x+40+x≤84∴11x≤44∴x≤4因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0．例5 解关于x的不等式(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．(1)∵ax+2≤bx-1∴ax-bx≤-1-2即 (a-b)x≤-3此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式．即(n-m)x＞n2-m2当m＞n时,n-m＜0,∴x＜n+m；当m＜n时,n-m＞0,∴x＞n+m；当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立．例6 解关于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3．分析：由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理．去括号,得3ax+3x+3a≥2ax+3移项,得3ax+3x-2ax≥3-3a,得(a+3)x≥3-3a(3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12这个不等式无解．说明：在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论．例7 m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．分析：根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x可解得 8x=20+17m已知方程的解是非正数,所以例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围．分析：要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解的步骤求得方程的解x(用k的表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用．由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3可解得 -2x=8k-4即 x=2(1-2k)(1)已知方程的解是非负数,所以(2)已知方程的解是负数,所以例9 当x在什么范围内取值时,-3x+5的值：(1)是负数 (2)大于-4(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9分析：解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．(1)根据题意,应求不等式-3x+5＜0的解集解这个不等式,得(2)根据题意,应求不等式-3x+5＞-4的解集解这个不等式,得x＜3所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4．(3)根据题意,应求不等式-3x+5＜-2x+3的解集-3x+2x＜3-5-x＜-2x＞2所以当x取大于2的值时,-3x+5的值小于-2x+3．(4)根据题意,应求不等式-3x+5≤4x-9的解集-3x-4x≤-9-5-7x≤-14x≥2所以当x取大于或等于2的值时,-3x+5的值不大于4x-9．例10分析：,求出x的范围．说明：应用不等式知识解决数学问题时,要弄清题意,分析问题中数量之间的关系,正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”,“至少小2”,表示不仅少2,而且还可以少得比2更多．例11 三个连续正整数的和不大于17,求这三个数．分析：设三个连续正整数为n-1,n,n+1根据题意,列不等式,得n-1+n+n+1≤17所以有四组：2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是2,它的非负整数解是0、2．例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内,现要求热水温度不超过40℃,如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃,问通电最多多少分钟,水温才适宜?分析：设通电最多x分钟,水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃,这时水温是(18.4+0.9x)℃,根据题意,应列出不等式18.4+0.9x≤40,解得,x≤24．答案：通电最多24分,水温才适宜．说明：解答此类问题时,对那些不确定的条件一定要充分考虑,并“翻译”成数学式子,以免得出失去实际意义或不全面的结论．例13 矿山爆破时,为了确保安全,点燃引火线后,人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米?设引火线长为x厘米,根据题意,列不等式,得解之得,x≥48(厘米)答：引火线至少需要48厘米．*例14 |2x+1|＜4．把2x+1看成一个整体y,由于当-4＜y＜4时,有|y|＜4,即-4＜2x+1＜4,巧解怎样才能正确而迅速地解?现结合实例介绍一些技巧,供参考．1．巧用乘法例1 解不等式0.25x＞10.5．分析 因为0.25×4=1,所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．解 两边同乘以4,得x＞42．2．巧用对消法例2 解不等式解 原不等式变为3．巧用分数法则故 y＜-1．4．逆用分数法则解 原不等式化为,5．巧用分数基本性质例5 解不等式约去公因数2后,两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．例6 解不等式分析 由分数基本性质,将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．解 原不等式为整理,得8x-3-25x+4＜12-10x,思考：例5可这样解吗?请不妨试一试．6．巧去括号去括号一般是内到外,即按小、中、大括号的顺序进行,但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．7．逆用例8 解不等式278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．分析 直接去括号较繁,注意到左边各项均含有x-3而逆用分配律可速解此题．解 原不等式化为(x-3)(278-351×2+463)＞0,即 39(x-3)＞0,故x＞3．8．巧用整体合并例9 解不等式3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．解 视2x-1为一整体,去大、中括号,得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5,整体合并,得-6(2x-1)＞14,9．巧拆项例10 解不等式分析 将-3拆为三个负1,再分别与另三项结合可巧解本题．解 原不等式变形为得x-1≥0,故x≥1．练习题解下列③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．。

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